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多面体背后的那些人
发布时间:2020-03-26     浏览次数   

多面体背后的那些人

--疫情下实践活动的文化思考


缘起

“疫情”当下,居家度日,怎样才能让孩子们在家里待得住,待得有质量,我们这些一线教师都在探索着。咱们就来利用纸做一个阿基米德多面体吧。关注多面体这个点,源于多年前的一道小升初的题目,之后刻意留心是因为好友利用“超脑麦斯”完成的《柏拉图多面体》一课,再有对于许多其他领域特别有建树的人物在数学上也非常大牛很感兴趣,结合最近组织学生进行实践活动研究,就想聊聊与多面体有关的这几个人。

我们给出的是阿基米德多面体,但第一个人物是柏拉图以及他的“柏拉图正多面体”。

第一人  柏拉图

关于柏拉图,我们熟知他是因为他是西方文化最伟大的哲学家和思想家之一,他与他的老师苏格拉底、他的学生亚里士多德并称“希腊三贤”。“良好的开端,等于成功的一半”来自于他,“精神恋爱”也以“柏拉图式爱情”命名,《理想国》更为世人所熟知。而今天我们要说的是数学家柏拉图,柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名,由于它们具有高度的对称性及次序感,因而通常被称为正多面体比如正六面体就是我们常说的正方体,而正四面体就是正三棱锥。我们从下图中很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的,并且在每一个顶点处交会着相同数、相似、正的凸多边形

柏拉图多面体只有我们图中的这五种,这是因为在每一个顶点处交会着至少三个面才能构造出一个立体图形,而且围绕每一个顶点的面的角度和不能等于或超过360°,否则所得的面将是平的或是凹的。

第二人  阿基米德

“给我一个支点,我就能撬起整个地球。”阿基米德曾说阿基米德又是谁呢?看着这幅图你应该能想起来,他就是澡盆中发现了浮力定律阿基米德阿基米德不仅仅是物理学家,更是古希腊伟大的数学家、发明家、工程师、天文学家,高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德在数学上有着极为光辉灿烂的成就,特别是在几何学方面。于小学阶段的学习而言,涉及到的是阿基米德利用割圆法求得π的值3.14163和3.14286之间。另外他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍,又导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,这个定理就刻在他的墓碑上。

这次实践活动研究制作的是半正多面体(semiregular solid)也被“阿基米德体”、“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体。如将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十二个面的半正多面体,它们的边都相等,其中八个为正三角形,四个为正方形,称这样的半正多面体为十二等边体。

(上图直线左侧为“柏拉图多面体”,右侧为“阿基米德多面体”。)

“阿基米德体”有以上十三种,是不是说“半正多面体”就只有十三种呢?这值得我们思考。想一想:如果一个直柱体,上下两个面均为正二十边形,侧面是二十个与这个二十边形等长的正方形,那么这个直柱体是不是也叫做“半正多面体”呢?可是它又不在“阿基米德多面体”这十三种之中。

其实这个在沈康生先生的《历史数学名题赏析》中已经得以证明,半正多面体共有十五类,其中前十三类就是阿基米德给出的十三个多面体,这十三类多面体的结构外形是不变的也就是说每一类都只有一种。此外还有两类半正多面体,叫做等棱长多面体,分别是直棱柱反棱柱,它们的侧面分别由正方形和正三角形组成。和之前的十三类多面体所不同的是,这两类多面体的结构外形是有变化的,也就是说这两类多面体每一类都有无穷多种,只要底面的边数改变了,也就变成了一个新的半正多面体。比如我刚刚说到的上下两个面为正二十边形,如果换成正一百边形又是一个新的半正多面体了。所以,我们可以说“阿基米德多面体特指阿基米德研究的这十三种”,那么这个“阿基米德多面体有十三种”就是正确的了,但半正多面体可不是哦!

第三人  欧拉

欧拉,瑞士数学家、自然科学家18世纪数学界最杰出的人物之一。欧拉不仅是数学史上最多产的数学家,其研究还涉及建筑学、弹道学航海学等,他将整个数学推至物理的领域。

1750年,欧拉在给哥德巴赫的一封信中,列举了多面体的一些性质,其中就有一条后来他在1752年提出的关于凸多面体的定理:在一凸多面体中,顶点数-棱边数+面数=2。

当然,我之前所提及的我最初的关注点就来自于小升初中对于“欧拉定理”的推理考核。

第四人 独孤信

独孤信?何许人也?独孤信,本名独孤如愿,字期弥头,鲜卑族,云中人,西魏、北周将领,八柱国之一。

独孤信不出名,但“独孤信印信”很出名,尤其在2019年高考之后,陕西省历史博物馆迎来了许多特地前来欣赏独孤信印信的人。这个1500年前的26面体印信,因出现在2019年高考全国Ⅱ卷数学考试中,成为被许多人关注的“网红”。独孤信印,全称为“独孤信多面体煤精组印”,质地为煤精石,呈八棱多面体,一共有26个面。其中18个正方形面,8个三角形面,边长2厘米。通体高4.5厘米、宽4.35厘米,重75.7克。在我国考古史上,虽然也陆续出土过多面体印章,但多达26面的,目前仅此一枚。

第五人  一群小伙伴

这些小伙伴们,在小学阶段既认识了多面体、正多面体、半正多面体,又在动手实践制作中去发现、去思考。磁力片组成后再展开是一个研究方向,多面体棱数、面数、顶点数之间的关系是一个研究领域,正多面体切掉切掉是半正多面体的来源……这个知识点小学并不要求,可是源于实践操作的学习不更利于消化吸收吗?再加上对绘本《寻找石中剑》的阅读,真是如虎添翼。


后记

足球是球吗?请你对足球也来个“一探究竟”,看看它和我们今天所谈内容有何关联吧!


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